Viva!
> Vamos aceitar, para efeito de discussão, que pelo menos no que se refere à
> prática matemática existe uma convenção de que
> os modelos, os domínios de discurso, são não-vazios (o que também não parece
> claro 100 por cento pelo que eu vi na discussão,
> mas só para hoje, pra seguir na discussão, vamos assumir isso).
>
> OK. Isso é uma assunção, digamos assim, semântica.
>
> Minha dúvida é: essa assunção tem que chegar no nível sintático ? Ou seja,
> seria necessário um axioma pra dizer isso ?
A alternativa não implicaria acomodar uma instância "desnecessária" de
incompletude? Afinal, a semântica "convencionada" garantiria, por
exemplo, que (∃x)x=x é uma fórmula válida, mesmo que tal fórmula não
fosse um teorema do sistema dedutivo escolhido...
> Porque, como eu observei e o Juan também, ambos os tipos de livros de Set
> Theory, tanto os que usam o primeiro axioma como sendo "o Axioma do Vazio" ou
> como sendo
> "o Axioma da Existência de Conjuntos", que seria o famoso 'existe x tal que x
> = x' que não vale na lógica livre,
Porque a lógica livre não faz a tal assunção sobre a não-vacuidade do
domínio (e o sistema dedutivo "correspondente", neste caso, ficaria
também liberado de fazê-la), né?
> Os dois axiomas são essencialmente equivalentes na presença do Axioma da
> Separação (de um conjunto que exista eu extraio o vazio usando uma fórmula
> contraditória
> como "z diferente de z" aplicada aos elementos desse que existe),
Aqui a lógica subjacente poderia claramente fazer uma diferença. Do
ponto de vista de uma lógica *sem* "fórmulas contraditórias", como a
lógica LP, não estaria garantida a existência de um (único) conjunto
que seja subconjunto de qualquer outro conjunto.
Além disso, como disse o Anderson, não parece necessário que
"um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma well-formed
formula da lógica formal".
Um dos truques mais sujos feito por lógicos não-clássicos consiste
justamente em mudar a interpretação das fórmulas tomadas como axiomas
de uma dada teoria enquanto seguem insistindo que continuam falando da
_mesma teoria_. Será que faz sentido dizer que uma teoria é um mero
conjunto de expressões sintáticas desvinculadas de um certo jogo no
qual tais expressões ganham significado?
> Assim, se na teoria já estivesse claro "sintaticamente" que existem
> conjuntos, eu pegava qualquer um deles que estivesse dando mole e separava o
> Vazio dele.
>
> E aí nem o Axioma do Vazio e nem o Axioma da Existência de Conjuntos seriam
> necessários na axiomática.
>
> Então meu status atual na discussao é:
>
> ---> concordo que as apresentaçoes de teorias na lógica clássica acabam
> pressupondo domínios não-vazios, na maioria das vezes;
>
> ---> porém estou na dúvida se seria realmente necessário que essa assunção
> chegasse ao nível sintático dos axiomas.
Você conhece aquela história sobre o monoteísta ser um ateu
empedernido mas inconsistente, que abriu mão de todos os deuses do
panteão, menos um? A insistência do lógico *não-livre* acerca da
existência de "pelo menos um objeto no domínio" é tudo menos
*natural*... No meu entendimento, ela surge ou deveria surgir como
consequência de uma hipótese presente na teoria (ou na meta-teoria,
quando a teoria não é suficientemente expressiva). Cancelada a dita
hipótese, estamos livres para _aceitar o vazio_ nas nossas vidas.
{}s,
Joao Marcos
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LOGICA-L
Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica
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