Oi, Samuel e colegas
A minha impressão é que o aluno tinha razão, mas com as seguintes
qualificações: a teoria de conjuntos em questão tem de ser pura e
inclusiva, ou seja, não permitir domínios vazios.
Agora, se a teoria for impura, então o fato de Ex(x = x) ser um teorema
clássico não garante a existência do vazio, já que o objeto em questão
pode não ser um conjunto.
Na apresentação do Suppes, por exemplo, ele toma o predicado Sx, para "x
é um conjunto", como primitivo. Nesse caso, o axioma ExSx, "existe um
conjunto", é necessário para provar a existência do conjunto vazio a
partir do axioma da separação, já que alguns quantificadores que ocorrem
nos demais axiomas são condicionalizados ao predicado S. Por exemplo, o
axioma da separação é formulado assim:
(z){ Sz -> (Ey)[ Sy & (x)(x \in y <-> (x \in z & A(x)) ] }
(Mas o Suppes usa variáveis diferentes para conjuntos para abreviar).
Espero ter ajudado mais do que bagunçado.
Abraços,
--
Henrique Antunes
On Mon, Oct 09, 2023 at 09:57:04AM -0700, 'samuel' via LOGICA-L wrote:
> Oi gente,
>
> Aproveitando pra comentar da dúvida que eu apresentei na apresentação da Lidia
> Batinga (que pro framework dela
> deu pra ver que a resposta era "sim").
>
> Aí, todo mundo pode dar aqui um pitaco que eu estou curioso com isso já faz
> uns
> três anos.
>
> Lá vai:
>
> O primeiro axioma de Teoria dos Conjuntos, em muitos livros, é o Axioma do
> Vazio:
>
> "Existe x tal que para todo y, y não pertence a x"
>
> (que depois é provado ser o único nessas condições pelo Axioma da Separação).
>
> Pois bem: no livro do Kunen dos anos 80 (referência clássica em conjuntos), o
> primeiro axioma
> é um "axioma de existência de conjuntos":
>
> "Existe x tal que x = x"
>
> (como qualquer coisa é igual a si mesmo, o axioma essencialmente diz que
> existe
> uma "qualquer coisa" pra ser igual a si mesma).
>
> Dada a existência de um conjunto, dada pelo axioma acima, e o Axioma de
> Separação, obtemos o conjunto vazio separando,
> nesse x que foi dito existir digamos, o subconjunto
>
> y = {z pertencente a x | z é diferente de z }
>
> e aí esse y não tem elementos (dado que nenhum z satisfaz o pedido) e por
> unicidade (dada por Separação) ele é o vazio, OK.
>
> Em resumo, pelo que vocês vêm acima, na presença do Axioma de Separação, dizer
> que "existe um conjunto qualquer"
> ou que "existe um conjunto vazio" dá na mesma, seriam axiomáticas
> equivalentes.
>
> ... Mas aí vem a pegadinha.
>
> Numa banca de mestrado que participei, o aluno "se recusou" a aceitar o axioma
> do Kunen, "Existe x tal que x = x",
> com o seguinte argumento:
>
> ---> Essa asserção segue de um axioma lógico sobre igualdade, que é "Para todo
> x, x = x", logo, se ela
> segue de um axioma, essa asserção é um teorema e não deveria ser um outro
> axioma.
>
> ... Touché ! Dizer o quê pro aluno numa situação dessas ???
>
> Depois de matutar um pouco a questão toda (pelo menos até onde eu vejo) é: ao
> tratarmos de uma teoria,
> NÓS TEMOS QUE PRESSUPOR QUE O DOMÍNIO DE DISCURSO É NÃO-VAZIO ?
>
> Porque se o domínio de discurso é não-vazio para a Teoria dos Conjuntos, de
> fato, para todo x deveríamos
> ter x = x, então em particular existe x tal que x = x. Seria então um teorema,
> não axioma.
>
> Ao ver essa apresentação da Lidia, e uma apresentação que o Henrique Antunes
> fez pra nós aqui na Matemática da UFBA,
>
> Foi apresentada essa diferença entre a Lógica clássica e a lógica livre, no
> qual, resumidamente
>
> ---> Na lógica clássica os termos se referem a coisas que são supostas
> existentes
>
> ---> Na lógica livre isso não vale necessariamente, então podemos falar de
> Pégaso e de outros entes imaginários...
>
> Então eu penso, ok, na lógica classe os termos se referem a coisas que
> existem.
>
> Mas - antes disso (de definir o que os termos fazem) nós teríamos que decidir
> se existem coisas para que os termos possam se
> referir a elas, não ? Seria uma espécie de discussão anterior ao papel dos
> termos, eles têm coisas existentes pra denotar ?
>
> Então eu perguntei pra Lidia que estava apresentando sobre isso e deu pra ver
> que ela pressupõe que o
> universo de discurso é não-vazio,
>
> E no livro do Kunen tem alguns momentos lá na frente que ele fala que "na
> prática" tem que se supor que
> o universo de discurso é não-vazio (posso achar a página exata se alguém
> pedir),
>
> Então minha dúvida é essa: ainda em oposição à lógica livre talvez,
>
> Numa apresentação de uma teoria em lógica clássica,
>
> Devemos, ou é preferível, ou é saudável, ou é do gosto pessoal de cada um,
>
> -----> Supor que o domínio de discurso é não-vazio ?
>
> Se sim, então o axioma "Existe x tal que x = x" é desnecessário (e Kunen teria
> ficado contraditório lá no meio do
> livro dele ao dizer que já supunha o universo não vazio depois de colocar esse
> "axioma zero" na primeira linha
> do livro então...)
>
> Gostaria de ouvir os colegas,
>
> Abraços, e agradeço a Lidia por sua apresentação e por ter dado essa
> oportunidade para uma discussão.
>
> []s Samuel
>
>
>
>
>
>
>
> Em quarta-feira, 4 de outubro de 2023 às 14:50:01 UTC-3, Joao Marcos escreveu:
>
> Mesa-redonda imperdível nesta 5a-feira, 05/10, às 19:00, transmitida pelo
> excelente canal do Núcleo de Lógica e Filosofia Analítica da UFMA:
> [1]https://www.youtube.com/live/rcRVKwJPmsk?si=VKK8nkCjLm5dGWmS
>
> Em sua segunda iteração, o Encontro Brasileiro de Filósofas Analíticas
> continua sua missão de abrir um espaço de diálogo para que pesquisadoras,
> em fase inicial ou intermediária de pesquisa, de todas as regiões do país,
> se conheçam, compartilhem suas pesquisas e formem uma rede de apoio que
> estimule cada vez mais a presença e permanência de mulheres na Filosofia
> Analítica, em suas mais diferentes ramificações.
>
> Na mesa de quinta-feira (05/10/23) teremos uma discussão de temas em
> filosofia da lógica com a Profa. Gisele Secco (UFSM) mediando as seguintes
> comunicações:
> - “Referência, Autorreferência e Circularidade” por Fernanda Birolli (USP)
> - “Lógica e ontologia: uma relação próxima” por Lídia Batinga (UFPB)
> - “Lógica abstrata: o que podemos fazer de novo?” Por Luiza Ramos (USP)
>
> %%%
>
> Toda uma série de eventos de alta qualidade vêm por aí, como parte
> da segunda iteração do Encontro Brasileiro de Filósofas Analíticas:
> [2]https://ebfanaliticas.wixsite.com/ebfa/general-5
>
> %%%
>
> JM
>
> --
> LOGICA-L
> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica
> <[email protected]>
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> do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um
> e-mail para [3][email protected].
> Para ver essa discussão na Web, acesse [4]https://groups.google.com/a/
> dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/
> 4be0526f-d26a-4b34-918e-16e0eabd5b5dn%40dimap.ufrn.br.
>
> References:
>
> [1] https://www.youtube.com/live/rcRVKwJPmsk?si=VKK8nkCjLm5dGWmS
> [2] https://ebfanaliticas.wixsite.com/ebfa/general-5
> [3] mailto:[email protected]
> [4]
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/4be0526f-d26a-4b34-918e-16e0eabd5b5dn%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer
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