Olá a todos,
Obrigado pela discussão. Minha compreensão é a de que a teoria dos
conjuntos, tal como pensada por Zermelo, não precisa ser necessariamente
pensada como uma teoria inscrita num sistema de lógica (p. ex., a lógica
quantificacional de primeira ordem). Se ela for inscrita num sistema de
lógica (quantificacional de primeira ordem, por exemplo), é a *convenção*
de que os domínios de interpretação não são vazios que representa, no
sistema lógico, que o axioma é satisfeito. Não é necessário se pensar que
um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma *well-formed formula*
da lógica formal. O axioma pode ser satisfeito por outras restrições do
sistema formal que precedem a construção de teorias nele inscritas.
Abraço,
Anderson
Em terça-feira, 10 de outubro de 2023 às 23:50:54 UTC-3, Joao Marcos
escreveu:
> Gostei muito destes dois dedos de prosa!
>
> > Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
> > necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios
> não
> > vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
> > domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
> > uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
> > interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
> > separação....
>
> Hummmm... E quem vem primeiro? Uma dada semântica para uma teoria de
> primeira ordem com igualdade será correta/sound para uma lógica que
> tem (∃x)x=x como teorema sse ela exigir que os domínios das
> interpretações sejam não vazios. Não podemos pensar, assim, que esta
> é a _razão_ pela qual a lógica clássica faz esta bendita pressuposição
> sobre a não-vacuidade dos domínios? Numa lógica que não seja
> constrangida por tal pressuposto existencial o "normal" não seria que
> os domínios das estruturas de interpretação fossem conjuntos
> arbitrários?
>
> Quando uma dada teoria tem um símbolo de constante qualquer, a
> semântica "standard" poderá justificar: aí está a razão, precisamos de
> um objeto no domínio para interpretar este símbolo de constante. Mas
> neste caso esbarramos em outra pressuposição da semântica "standard",
> a saber, a pressuposição de que as funções de interpretação sejam
> totais (e isto se aplica em particular à operação nulária que
> interpreta o dito símbolo de constante). Como o Henrique já apontou,
> aqui esbarramos na pressuposição de que "todos os termos denotam".
> Mas será que a gente já não sabe, tendo em vista todo o trabalho feito
> nos últimos anos formalizando a noção de *computabilidade*, que no
> mundo real não dá para escapar de _funções parciais_ (que
> eventualmente farão com que alguns termos não denotem)?
>
> Para "facilitar a vida", de todo modo, os algebristas parecem ter
> imposto a convenção dos *domínios não-vazios*, mesmo quando a
> assinatura de suas teorias não contêm símbolos de constante. Será que
> a semântica lógica clássica ---the new kid on the block--- nada mais
> fez do que imitar servilmente as estruturas algébricas que já andavam
> por aí antes de ela chegar?
>
> A propósito, alguém conhece livros-texto de Lógica que _iniciem_ por
> uma apresentação inteiramente *formal* que considere:
> (i) lógicas livres, com domínios eventualmente vazios?
> (ii) símbolos de função interpretados como funções parciais sobre o
> domínio?
>
> > No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
> > sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains".
> Acho
> > que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.
>
> Bem lembrado!
>
> []s, Joao Marcos
>
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