Gostei muito destes dois dedos de prosa!
> Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
> necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios não
> vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
> domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
> uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
> interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
> separação....
Hummmm... E quem vem primeiro? Uma dada semântica para uma teoria de
primeira ordem com igualdade será correta/sound para uma lógica que
tem (∃x)x=x como teorema sse ela exigir que os domínios das
interpretações sejam não vazios. Não podemos pensar, assim, que esta
é a _razão_ pela qual a lógica clássica faz esta bendita pressuposição
sobre a não-vacuidade dos domínios? Numa lógica que não seja
constrangida por tal pressuposto existencial o "normal" não seria que
os domínios das estruturas de interpretação fossem conjuntos
arbitrários?
Quando uma dada teoria tem um símbolo de constante qualquer, a
semântica "standard" poderá justificar: aí está a razão, precisamos de
um objeto no domínio para interpretar este símbolo de constante. Mas
neste caso esbarramos em outra pressuposição da semântica "standard",
a saber, a pressuposição de que as funções de interpretação sejam
totais (e isto se aplica em particular à operação nulária que
interpreta o dito símbolo de constante). Como o Henrique já apontou,
aqui esbarramos na pressuposição de que "todos os termos denotam".
Mas será que a gente já não sabe, tendo em vista todo o trabalho feito
nos últimos anos formalizando a noção de *computabilidade*, que no
mundo real não dá para escapar de _funções parciais_ (que
eventualmente farão com que alguns termos não denotem)?
Para "facilitar a vida", de todo modo, os algebristas parecem ter
imposto a convenção dos *domínios não-vazios*, mesmo quando a
assinatura de suas teorias não contêm símbolos de constante. Será que
a semântica lógica clássica ---the new kid on the block--- nada mais
fez do que imitar servilmente as estruturas algébricas que já andavam
por aí antes de ela chegar?
A propósito, alguém conhece livros-texto de Lógica que _iniciem_ por
uma apresentação inteiramente *formal* que considere:
(i) lógicas livres, com domínios eventualmente vazios?
(ii) símbolos de função interpretados como funções parciais sobre o domínio?
> No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
> sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". Acho
> que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.
Bem lembrado!
[]s, Joao Marcos
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