Caro Walter e lista,
Ai, a velha questão da existência em matemática!
Parece que o tua posição está inspirada de alguma maneira em Hilbert ou no
formalismo, quando você escreve:
>>>
É natural aceitar esta noção de "existir" como "estrutura.
matemática definida rigorosamente".
<<<
Se não assumir uma posição idealista ou platonista extrema, a existência em
matemática é uma analogia ---quase uma metáfora--- da existência metafísica
na realidade ou na natureza.
Suponha que formalizamos Chapeuzinho Vermelho em ZF:
∅ é Chapeuzinho
{∅} é a mãe dela
{{∅}} é a vovozinha
{∅,{∅}} é o lobo mau
{∅,{{∅}}} é o caminho do bosque
etc.
Podem ser definidas relações: "x mãe de y", "x avô de y", "x come y", "x
vai por y", etc.
Um hilbertiano poderia afirmar que Chapeuzinho Vermelho existe. Mas é uma
existência matemática, não existe na natureza.
Isto não é uma brincadeira, mas um problema muito sério.
Por exemplo, pensemos na relação Bedeutung de Frege, mal traduzida como
"denotação", etc.
Nessa concepção, o termo "mesa" nunca pode "denotar" a mesa que eu estou
usando para escrever, nem o termo "rio Amazonas" pode "denotar" o rio
homônimo no norte do Brasil:
o termo "rio Amazonas" "denota", na concepção fregiana, um objeto
matemático, porque a relação foi definida à maneira matemática.
Possivelmente, atrás desse problema e do abuso de maneiras matemáticas
esteja mais uma vez alguma forma do "paradoxo da análise", como parece
assinalar o trabalho de Tomas Moro Simpson.
"Formas Lógicas, Realidad y significado", cuja leitura recomendo, apesar
dele ter sido argentino e sócio da SADAF (que nem eu :-) )
Carlos
On Thu, Dec 5, 2019 at 5:21 PM Walter Carnielli <[email protected]>
wrote:
> Oi Tony,
>
> A pergunta é boa. E a minha resposta, da maneira mais simples
> possível, vai ser também. :-)
> A teoria de conjuntos clássica (standard) é apenas uma coleção de
> sentenças. O que garante a "existência" dos conjuntos clássicos?
> Seus modelos, levando em conta o Axioma do Infinito.
>
> Mas o que é "existir"? Existe o modelo de Von Neumann dos naturais,
> por exemplo?
> Em ZF os números naturais são definidos recursivamente. via ordinais
> de von Neumann tomando 0 = { } (o conjunto vazio)
> e n + 1 =S(n)= n ∪ {n} para cada n. A estrutura ⟨N, 0, S⟩ é um modelo
> dos axiomas. de Peano.
> A "existência" do conjunto N segue do axioma do infinito de ZF.
> É natural aceitar esta noção de "existir" como "estrutura.
> matemática definidarigorosamente". Existe
> tanto, ou msis, quanto a ironia, o bom gosto ou a boa-vontade.
>
> Analogamente, o que garante a existência de conjuntos
> paraconsistentes? Resposta: seus modelos;
> Nossos modelos, baseados em Twist-Valued Models, são bastante
> próximos, neste sentido, dos modelos standard de ZF.
> Abs
>
> W.
>
> Em qui, 5 de dez de 2019 14:05, Tony Marmo <[email protected]>
> escreveu:
> >
> > Caro Walter,
> >
> > Já que levantou o assunto, vou fazer uma pergunta:
> >
> > Os conjuntos paraconsistentes existem?
> >
> > Uma paráfrase possível para essa pergunta: o que garante a existência de
> conjuntos paraconsistentes?
> >
> > Obrigado
> >
> > Em qui, 5 de dez de 2019 12:36, Walter Carnielli <
> [email protected]> escreveu:
> >>
> >> Caros colegas:
> >>
> >> Em vista do interesse do assunto, julgamos apropriado divulgar,
> >> abraços,
> >> Walter
> >> =========================
> >> Twist-Valued Models for Three-valued Paraconsistent Set Theory
> >> W. Carnielli and M. E. Coniglio
> >> https://arxiv.org/pdf/1911.11833.pdf
> >>
> >> Light abstract:
> >>
> >> Paraconsistent set theory (PST) is the theoretical move to maintain
> >> the freedom of defining sets, while stripping the theory of
> >> unnecessary principles, so as to avoid triviality -- a disastrous
> >> consequences of contradictions involving sets in ZF. A hard problem
> >> is to find good models for PST.
> >>
> >> B. Löwe and S. Tarafder proposed in 2015 a class of algebras based on
> >> a certain kind of implication which satisfy several axioms of ZF. From
> >> this class, they found a specific 3-valued model called PS3 which
> >> satisfies all the axioms of ZF, and can be expanded with a
> >> paraconsistent negation *, thus obtaining a paraconsistent model of
> >> ZF. The logic (PS3 ,*) coincides (up to the language) with da Costa
> >> and D'Ottaviano logic J3, a 3-valued paraconsistent logic that have
> >> been proposed independently in the literature by several authors and
> >> with different motivations such as CluNs, LFI1 and MPT.
> >>
> >> We propose in this paper a family of algebraic models of ZFC based on
> >> LPT0, another linguistic variant of J3 introduced by us in 2016. The
> >> semantics of LPT0, as well as of its first-order version QLPT0, is
> >> given by twist structures defined over Boolean algebras.
> >>
> >> Twist-valued models are natural generalizations of the Boolean-valued
> >> models of set theory independently introduced by Scott, Solovay and
> >> Vopěnka.
> >>
> >> Our twist-valued models are adapted to provide a class of twist-valued
> >> models for (PS3,*), thus generalizing Löwe and Tarafder's results. It
> is
> >> shown that they are in fact models of ZFC (not only of ZF).
> >> ====================================
> >>
> >> Walter Carnielli
> >> https://waltercarnielli.com/
> >>
> >> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
> >> Department of Philosophy
> >> State University of Campinas –UNICAMP
> >> 13083-859 Campinas -SP, Brazil
> >>
> >> CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379
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