Bom dia! Uma historinha do outro lado da moeda...
Uma professora amiga, aqui do meu instituto (IME-UFF), me contou que, uma vez, a professora dela de análise resolveu ensinar o que é uma função contínua de maneira a que, ao final da aula, os estudantes entendessem a definição de continuidade por epsilons e deltas. Pois bem, ela começou com "uma função é contínua se, e somente se, pode ser desenhada sem que a gente tire o lápis do papel" (ou algo assim) e foi pouco a pouco criticando a definição já acordada (não sei reproduzir os detalhes), mostrando uma série de exemplos que desqualificavam a definição já obtida, até chegar na definição, digamos, usual. Esta minha amiga me disse que ficou maravilhada com aquilo tudo e em ver como uma definição tão não-natural (para ela naquele momento) podia ser explicada de maneira natural a partir de exemplos cada vez mais esclarecedores. Enquanto isso, uma colega que esta do lado dela, virou para ela e disse: se ela não sabia a definição, deveria ter preparado melhor a aula, para não confundir a gente com esse monte de exemplos! abraços, P Em qua., 16 de jul. de 2025 às 09:28, Márcio Palmares < [email protected]> escreveu: > A melhor exposição que eu conheço sobre esse tema aparece no livro "What > is Mathematics, Really?", do Reuben Hersh. O autor traça um amplo panorama > histórico mostrando como o platonismo/realismo deriva quase diretamente da > religião, e como essa forma sofisticada/disfarçada de religiosidade permeia > a prática da matemática em todos os níveis, principalmente no > ensino/difusão dessa ciência... Há um fundamento sociológico, histórico, > uma inércia cultural, que faz com que, ainda hoje, o expositor de > matemática (às vezes involuntariamente) reproduza as formas místicas com as > quais os conteúdos eram embalados no passado, com o fim de preservá-los em > círculos restritos. > > Um exemplo: acho que li no Morris Kline, não lembro mais, que Newton > escolheu uma forma geométrica clássica, austera, de exposição nos Principia > Mathematica para afugentar amadores e se ver livre de novas controvérsias > sobre prioridade... O texto era praticamente ilegível na época.. > > A forma de exposição "misteriosa", especialmente nas demonstrações, > difícil de seguir, onde toda referência aos processos heurísticos ou à > gênese dos conceitos é omitida, é instituída já na Antiguidade e praticada > especialmente por Arquimedes. Sabe-se, agora, contudo, que Arquimedes tinha > um "método" de descobertas que envolvia trabalho manual, experimental, algo > que convinha ocultar, pois todo trabalho manual era relegado aos escravos e > visto como degradante. > > Há uma controvérsia sobre este tema (a maior ou menor influência da > escravidão na formação desse elitismo)... Alguns autores divergem dessa > interpretação (eu considero como a mais plausível). Entre as visões > divergentes, a mais criativa que encontrei foi essa, do Isaac Asimov: > > "O PROCESSO DEDUTIVO > > Elaborar um corpo de conhecimentos como consequência inevitável de um > conjunto de axiomas (“dedução”) é um jogo atraente. Os gregos se > apaixonaram por ele, graças ao sucesso de sua geometria — apaixonaram-se a > tal ponto que cometeram dois erros graves. > > Primeiro, passaram a considerar a dedução como o único meio respeitável de > se alcançar o conhecimento. Estavam bem conscientes de que, para certos > tipos de saber, a dedução era inadequada; por exemplo, a distância entre > Corinto e Atenas não podia ser deduzida a partir de princípios abstratos, > mas precisava ser medida. Os gregos estavam dispostos a observar a natureza > quando necessário; no entanto, sempre se envergonhavam dessa necessidade e > consideravam que o mais elevado tipo de conhecimento era aquele obtido por > meio da pura atividade mental. Tendiam a subestimar o saber diretamente > ligado à vida cotidiana. Conta-se que um discípulo de Platão, recebendo > instruções matemáticas do mestre, acabou perguntando impacientemente: “Mas > para que serve tudo isso?” Platão, profundamente ofendido, chamou um > escravo e, ordenando-lhe que desse uma moeda ao aluno, disse: “Agora você > não precisa mais sentir que sua instrução foi inteiramente inútil.” E, com > isso, o estudante foi expulso. > > Há uma crença muito difundida de que essa visão elevada surgiu da cultura > grega baseada na escravidão, em que todas as questões práticas eram > relegadas aos escravizados. Talvez seja verdade, mas inclino-me a pensar > que os gregos viam a filosofia como um *esporte*, um jogo intelectual. > Muitas pessoas consideram o amador nos esportes como um cavalheiro > socialmente superior ao profissional que ganha a vida com isso. Em > consonância com esse ideal de pureza, tomamos precauções quase ridículas > para garantir que os competidores nos Jogos Olímpicos estejam livres de > qualquer mácula de profissionalismo. A racionalização grega para o “culto > da inutilidade” pode ter tido base semelhante: a ideia de que permitir que > o conhecimento mundano (como, por exemplo, a distância entre Atenas e > Corinto) invadisse o pensamento abstrato seria permitir que a imperfeição > penetrasse no Éden da verdadeira filosofia. Qualquer que tenha sido a > racionalização, os pensadores gregos foram seriamente limitados por essa > atitude. A Grécia não foi estéril em contribuições práticas para a > civilização, mas até mesmo seu grande engenheiro, Arquimedes de Siracusa, > se recusou a escrever sobre suas invenções e descobertas práticas; para > manter seu status de amador, divulgava apenas seus feitos em matemática > pura. > > E a falta de interesse nas coisas terrenas — na invenção, na > experimentação, no estudo da natureza — foi apenas um dos fatores que > impuseram limites ao pensamento grego. A ênfase dos gregos no estudo > puramente abstrato e formal — de fato, o próprio sucesso deles na geometria > — levou-os a um segundo grande erro e, eventualmente, a um beco sem saída." > (Isaac Asimov, "New Guide to Science", Capítulo 1, "What Is Science?", > tradução do Chat GPT). > > > Em ter., 15 de jul. de 2025 às 18:09, Eduardo Ochs <[email protected]> > escreveu: > >> Oi todos! >> >> Deixa eu fazer umas definições: uma "pessoa Bourbaki" é uma que gosta >> do estilo Bourbaki e gosta de expôr idéias matemáticas de um jeito bem >> abstrato, sem exemplos e sem motivação; uma "pessoa não-Bourbaki" >> prefere incluir exemplos e motivação. >> >> Até alguns anos atrás mesmo as pessoas não-Bourbaki precisavam fazer >> papel de pessoas Boubaki pra conseguirem publicar, mas agora tem sites >> de preprints e tem blogs, e as pessoas não-Bourbaki conseguem >> "publicar" textos não-Bourbaki... em geral em formas que não dão >> diretamente pontos em todos as métricas de produtividade, mas alguns >> desses textos podem acabar virando artigos-Bourbaki algum dia. >> >> É mais fácil a gente aprender a expôr idéias matemáticas num estilo >> não-Bourbaki "com os outros" do que "sozinhos". >> >> > No geral, o que pensam os colegas sobre a forma clássica de >> > exposição dos avanços matemáticos? >> >> Eu detesto o estilo Bourbaki e tou há anos aprendendo técnicas >> não-Bourbaki de escrever e de pensar - e muitas outras pessoas da >> lista também. Aliás, algumas já contaram os exemplos preferidos delas >> de "técnicas não-Bourbaki" que elas aprenderam com os outros... e eu >> acho que é por aí que a gente tem que começar. >> >> Um dos professores que eu mais gostava quando eu tava na graduação em >> Matemática na PUC-Rio - o Carlos Tomei - usava um monte de técnicas >> não-Bourbaki, e ele sempre dizia que elas eram parte da cultura oral >> dos matemáticos aplicados com quem ele tinha estudado, e elas não >> estavam publicadas em lugar nenhum. Uma das técnicas principais dele >> era assim: ele começava com um problema bem concreto, que tinha >> algumas constantes que eram valores simples bem escolhidos, e nesse >> caso a gente conseguia entender num instante a solução que ele >> mostrava... e aí ele dizia "e isso vale pra qualquer valor de 200!", e >> a gente via que a gente podia substituir certas constantes por uma >> variável e obter uma técnica bem mais geral em que as contas tinham >> exatamente a mesma estrutura - ou quase - que o caso particular com >> que a gente tinha começado. >> >> Aos poucos eu fui adaptando isso de vários jeitos e encontrando um >> monte de bons critérios pra escolher os casos simples por onde eu >> começava, e que eu generalizava depois. Um dos meus exemplos >> preferidos é parecido com o que o Márcio Palmares mencionou no exemplo >> dele... pra descobrir como encontrar a distância entre duas retas r e >> s em R^3 é melhor começar com uma reta r paralela ao eixo x e uma reta >> s parela ao eixo y, depois a gente permite que a reta s fique torta de >> um certo jeito, depois a gente permite que ela fique torta de jeitos >> mais complicados ainda, e depois a gente vai entortando a outra reta >> aos poucos - e em caso passo a gente chega numa fórmula um pouco mais >> complicada que a do passo anterior, mas que a gente ainda consegue >> visualizar o que ela quer dizer. >> >> O melhor artigo que eu já escrevi tem um bocado sobre isso, >> >> http://anggtwu.net/math-b.html#2022-md >> >> mas não tem quase nada sobre como usar essas técnicas pra Geometria >> Analítica, pra Cálculo, e pra Estatística Básica... >> >> [[]], >> Eduardo Ochs >> >> >> On Tue, 15 Jul 2025 at 11:21, Márcio Palmares <[email protected]> >> wrote: >> >>> Tive um professor de cálculo fora de série... Um dia ele começou uma >>> aula de cálculo II (início do volume II do Guidorizzi) propondo uma >>> discussão com a turma sobre de que modo poderíamos determinar a projeção >>> ortogonal de um vetor u sobre um vetor v... Intuitivamente, parecia óbvio >>> que a projeção ortogonal seria obtida quando um certo "lambda-u menos v" >>> tivesse a menor norma possível (ver figura). Ao tratar de escrever essa >>> norma como função do escalar lambda, vemos que para minimizar a norma basta >>> derivar a função obtida e verificar qual é o escalar que anula a primeira >>> derivada... >>> >>> Como resultado dessa discussão, aparecem o escalar da "fórmula da >>> projeção ortogonal" de um vetor sobre outro e, como um brinde, surge a >>> desigualdade de "Cauchy-Schwarz". >>> >>> Nos livros, entretanto (por exemplo, no de Análise do Elon) essa >>> desigualdade é demonstrada em um passe de mágica: aparece um polinômio >>> quadrático não se sabe de onde, e uma desigualdade óbvia envolvendo o >>> discriminante do polinômio é utilizada... >>> >>> A sensação que temos ao ler esse tipo de demonstração é tremendamente >>> frustrante... >>> >>> Fiquei pensando: será que os livros podem ser deficitários neste aspecto >>> e seria dever do professor suplantar a deficiência dos livros? >>> >>> O problema é que nem todos os professores têm a disposição de completar >>> a deficiência dos livros com a exposição da gênese dos conceitos (em >>> oposição à sua descrição o mais curta possível em uma demonstração). >>> >>> (Tive alguns professores que meramente transcreviam o livro-texto no >>> quadro, mas felizmente foram exceções). >>> >>> Obs.: não é necessário que a gênese de certo conceito coincida com sua >>> gênese histórica. Mesmo uma gênese conceitual "artificial" pode funcionar >>> muito bem. >>> >>> A predominância dessa forma de exposição crua, que prejudica o >>> aprendizado, tem raízes profundas, e quase certamente deriva do fato de >>> que, em seus primórdios, o conhecimento matemático deveria estar disponível >>> apenas para "iniciados". Obscurecer um conceito é uma garantia de >>> preservação do status do escriba. >>> >>> M. >>> >>> >>> >>> Em terça-feira, 15 de julho de 2025, João Ferrari <[email protected]> >>> escreveu: >>> >>>> Oi João, >>>> como vai? >>>> >>>> Concordo 100% com o teor da thread. Acrescento ainda que uma coisa >>>> nessa linha que me enfurecia nos meus tempos de graduação era ver esse >>>> estilo minimal e 'corrido' sendo adotado por livros supostamente didáticos. >>>> Isto é, além de entender a prova, o aluno tinha que fazer o trabalho de >>>> detetive/médium para decifrar de onde autores tiraram certos passos >>>> cruciais que pareciam ter aterrissado no meio da prova---isso quando tais >>>> passos não eram ocultados sob a maldição do 'isto fica como exercício para >>>> o leitor'. Acho que essa cultura tem minguado, de maneira geral, e a thread >>>> captura corretamente essa tendência no que diz respeito à produção de >>>> artigos. >>>> >>>> Ainda no contexto dos livros didáticos: eu até entendo a motivação, >>>> muito popular na matemática, de fazer o leitor se engajar no conteúdo e >>>> praticar enquanto lê. Mas penso que muitas vezes autores nem se dão conta >>>> de que para aquilo se tornar um exercício produtivo, a pessoa que está >>>> lendo precisa ter um bom arcabouço já solidificado na cabeça. Isso é >>>> particularmente contraproducente no caso de quem se aventura por conta >>>> própria na área, como foi o meu caso, inicialmente. Muitas vezes, a >>>> impressão que eu tinha era de que você precisava já saber do conteúdo antes >>>> de ler. >>>> >>>> A propósito, um livro de fundamentos de lógica que faz o oposto disto, >>>> e cujo estilo eu tenho recomendado para todo mundo é o recente *Foundations >>>> of Logic: Completeness, Incompleteness, Computability*, do Dag >>>> Westerståhl (um review que o Peter Smith sobre ele: >>>> https://www.logicmatters.net/2024/08/21/book-note-westerstahl-foundations-of-logic-i-ii/). >>>> Nas apresentações e provas o autor praticamente se coloca na perspectiva de >>>> um aluno, adiantando várias questões e dúvidas que poderiam surgir; e >>>> também busca provar vários resultados auxiliares/passos cruciais que a >>>> literatura em geral ignora pois os toma como triviais ou não tão >>>> relevantes---mas um aluno, na maioria das vezes, é ainda incapaz de fazer >>>> essa curadoria. O livro faz isso tudo sem 'dumb down the content' em parte >>>> alguma, o que eu acho incrível. >>>> >>>> Enfim, só os meus dois dedos de prosa sobre o assunto. >>>> Grande abraço, >>>> João F. >>>> >>>> Em seg., 14 de jul. de 2025 às 12:35, Joao Marcos <[email protected]> >>>> escreveu: >>>> >>>>> "The desiccated "Theorem, Lemma, Proof, Corollary,..." presentational >>>>> style is staggeringly counterproductive, if one's objective is >>>>> actually communicating the underlying mathematical intuitions and >>>>> thought processes behind a result." >>>>> https://x.com/getjonwithit/status/1943232298977030348 >>>>> >>>>> Uma das grandes dificuldades que matemáticos em formação encontram ao >>>>> entrar na guilda para aprender os ossos do ofício é que nesta área não >>>>> é habitual contar a história de como se chegou a um certo resultado, e >>>>> o costumeiro, na realidade, é esconder tudo que deu errado pelo >>>>> caminho... >>>>> >>>>> Alguns ainda vão mais além, e acrescentam que é importante "motivar >>>>> mais" os resultados teóricos e também se esforçar mais por >>>>> familiarizar os estudantes com a "história da área". Tudo isto se >>>>> aplica à Lógica, claro: o quão importante seria *para o aprendizado do >>>>> neófito*, digamos, a ampla _motivação_ prática da introdução de certos >>>>> métodos ou estratégias de raciocínio, ou a apresentação detalhada do >>>>> _histórico_ de como certos conceitos foram paulatinamente >>>>> desenvolvidos por estes ou aqueles gênios ou civilizações >>>>> particulares? >>>>> >>>>> No geral, o que pensam os colegas sobre a forma clássica de exposição >>>>> dos avanços matemáticos? >>>>> >>>>> []s, Joao Marcos >>>>> >>>>> -- >>>>> LOGICA-L >>>>> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de >>>>> Lógica <[email protected]> >>>>> --- >>>>> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo >>>>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google. >>>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>>>> envie um e-mail para [email protected]. >>>>> Para ver esta conversa, acesse >>>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LjnoDWpoFjeGEumV0ipSGAv7Md26n81EcfBxLRX9A4biA%40mail.gmail.com >>>>> . >>>>> >>>> -- >>>> LOGICA-L >>>> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de >>>> Lógica <[email protected]> >>>> --- >>>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >>>> Grupos do Google. >>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>>> envie um e-mail para [email protected]. >>>> Para ver esta conversa, acesse >>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CADzyMvbiL0zEJ80FKQ-GGssyDhzwmmq3Um8f%2BNrWC0fec3n7Vg%40mail.gmail.com >>>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CADzyMvbiL0zEJ80FKQ-GGssyDhzwmmq3Um8f%2BNrWC0fec3n7Vg%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> >>>> . >>>> >>> -- >>> LOGICA-L >>> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de >>> Lógica <[email protected]> >>> --- >>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >>> Grupos do Google. >>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>> envie um e-mail para [email protected]. >>> Para ver esta conversa, acesse >>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX%3DHDbwbTQPwFQ6M9qb5dFjC0dJVk8ph3aJ6uf17G%2BFqw%40mail.gmail.com >>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxX%3DHDbwbTQPwFQ6M9qb5dFjC0dJVk8ph3aJ6uf17G%2BFqw%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> >>> . >>> >> -- > LOGICA-L > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de > Lógica <[email protected]> > --- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para [email protected]. > Para ver esta conversa, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxWEXJFdrnPHSaaYPNa7v9dZL1Qsxh%3DJOG8CRJzMacqEtQ%40mail.gmail.com > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxWEXJFdrnPHSaaYPNa7v9dZL1Qsxh%3DJOG8CRJzMacqEtQ%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> > . > -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <[email protected]> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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