> Me parece que o teorema da incompletude de Kleene prescinde de uma > codificação.
Bem lembrado, Doria. O teorema de incompletabilidade de Gödel realmente segue como corolário do resultado de Forma Normal de Kleene, que não apenas prescinde de auto-referência mas que pode ser demonstrado sem codificação. Com a minha pergunta, contudo, eu pretendia inquirir a respeito da _necessidade_ de usar *aritmetização* (ou recursos aritméticos, em geral) em demonstrações de incompletabilidade (em particular, à la Gödel). Intuitivamente, a resposta me parece ser negativa, isto é, não me parece que tais _demonstrações_ "dependam da aritmetização da sintaxe", como afirma a autora do artigo. Mas é fato também que, por um motivo ou por outro, não tenho visto demonstrações do teorema gödeliano que evitem a burocracia da aritmetização... Abraços, Joao Marcos > > On 18 Dec 2019, at 13:03, Joao Marcos <[email protected]> wrote: > > > > Os comentários sobre o *racionalismo otimista* ("platonismo ingênuo"?) > > de Gödel, no artigo, são filosoficamente interessantes. > > > > Das três observações que faço abaixo, as duas primeiras são críticas e > > a terceira é um questionamento para os colegas. > > > > ### > > > > (0) > > > > Entre outras coisas, como observação parentética, parece-me um pouco > > _out of the ordinary_ que se escreva algo assim: > > > > "The axioms of PA include the commutative law of addition, for > > example, which states that it doesn’t matter in which order two > > numbers are added to each other, the result is the same. They also > > include the single rule of proof called Modus Ponens: “if A implies B, > > and A, then B”. > > > > Suponho, contudo, que tais frases se tratem de uma espécie de > > simplificação, _for the sake of the exposition_... > > > > ### > > > > (1) > > > > Formular o teorema de incompletabilidade de Gödel da seguinte maneira > > também me parece razoavelmente _misleading_: > > > > "Given any axiom system which is both consistent and sufficiently > > strong computationally, in the sense of being able to encode finite > > sequences (see below), there is a statement in the language of the > > system that is true, but cannot be proved from the axioms." > > > > Em particular, o sistema axiomático (não-recursivamente enumerável) > > que contêm como axiomas todas as sentenças verdadeiras da Aritmética é > > obviamente completo... > > > > ### > > > > (2) > > > > A pergunta que deixo aqui para os colegas é: qual é, na opinião de > > vocês, o grau de verdade da asserção > > > > "The proofs for both theorems depend on the concept of an encoding, or > > in technical terms the arithmetization of syntax"? > > > > Em outras palavras, qual o real grau de "dependência" do "conceito de > > codificação" para as demonstrações de incompletude? > > > > ### > > > > Joao Marcos > > > >> On Wed, Dec 18, 2019 at 10:31 AM Joao Marcos <[email protected]> wrote: > >> > >> Kurt Gödel and the mechanization of mathematics > >> - Juliette Kennedy discusses Kurt Gödel’s Incompleteness Theorems: the > >> ingenious proofs and enduring impact > >> https://www.the-tls.co.uk/articles/kurt-godel-incompleteness-theorems/ > >> > >> > >> JM > > > > > > > > -- > > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ > > > > -- > > Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" > > dos Grupos do Google. > > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > > um e-mail para [email protected]. > > Para ver esta discussão na web, acesse > > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lg6zFhN50kmLG_Q1QsZgXpKYA7yreFSnwQZnDZN1M-_ww%40mail.gmail.com. -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lgvnc5_Yo3iyymngWxSmM_XUrzk6rAshbOtwQvTR2L34g%40mail.gmail.com.
