Olá todos, olá Valeria,
Bem, dado o chamamento a opinar, vou fazer alguns comentários adicionais
sobre alguns dos posts anteriores, de maneira rápida e curta... Quando eu
quis compilar tudo o que eu gostaria de falar sobre a Hipótese do Contínuo,
em 2015, o que saiu foi um minicurso de três sessões, cada uma com mais de
60 slides ! Posso enviar o arquivo para quem me pedir off-list (e aceito
convites para ministrar esse minicurso por aí, obviamente...).
1) O enunciado original de Cantor para CH é exatamente como Doria citou:
não existe subconjunto da reta de tamanho intermediário entre o tamanho dos
naturais e o tamanho da reta. Se assumimos o Axioma da Escolha (para que
todo cardinal seja um aleph, i.e., para que toda cardinalidade seja
bem-ordenável, digamos), aí temos o enunciado bonitinho do 2^{aleph_0} =
aleph_1.
Tem coisas muito interessantes sobre esse enunciado original de Cantor,
"não existir tamanho intermediário". Primeiro: ele pode ser demonstrado
usando o Axioma da Determinação ! Lembrar, porém, que o Axioma da
Determinação (o qual declara, informalmente, que jogos cujo alvo sejam
subconjuntos da reta sempre vão ter estratégia vencedora para algum dos
jogadores) é incompatível com o Axioma da Escolha.
Outra coisa muito interessante: se generalizamos de uma certa forma natural
esse enunciado para qualquer conjunto infinito, chegamos num enunciado que
podemos considerar como sendo a "Hipótese Generalizada do Contínuo", mas
sem referência a alephs (essencialmente: "se X tem injeção para um certo Y
que tem injeção para Partes de X, então Y tem que ser equipotente ou a X ou
a Partes de X, não havendo possibilidades intermediárias"). Pois bem, esse
enunciado generalizado implica o Axioma da Escolha !!! Isso não é muito
divulgado por aí. Fiz um trabalho com um aluno de iniciação e destrinchamos
essa equivalência, tenho os slides do projeto dele, também posso enviar
para quem estiver interessado.
2) Outro fato que não é muito divulgado por aí: parafraseando Paulo Freire,
"Cantor não acordou um dia às oito horas da manhã e conjecturou a Hipótese
do Contínuo".
O que ocorre é que Cantor não conseguiu PRODUZIR, com seus métodos, nenhum
conjunto de tamanho intermediário. Slogan: "para conjuntos que possam ser
razoavelmente descritos, a Hipótese do Contínuo é verdadeira". O nascimento
da Teoria dos Conjuntos pode ser traçado ao Teorema de Cantor-Bendixson, no
qual Cantor enxergou uma recursão transfinita de comprimento maior do que
omega brincando com pontos de acumulação de subconjuntos da reta. Pois bem,
o Teorema de Cantor-Bendixson diz que: fechados não-enumeráveis da reta são
necessariamente equipotentes à reta (diz um pouco mais do que isso, mas por
hoje digamos que seja isso). A construção garante que, dado um fechado
não-enumerável, esse fechado deve conter um subconjunto perfeito - i.e., um
fechado sem pontos isolados. Pois bem, um lindo argumento com árvores
binárias garante que qualquer subconjunto perfeito contém uma cópia do
Conjunto de Cantor, e portanto tem a cardinalidade do contínuo.
"Conter uma cópia do conjunto de Cantor" é uma propriedade que garante à
uma dada classe de conjuntos um certo carimbo de "regularidade", de "bom
comportamento".
Essa propriedade, conter uma cópia do Conjunto de Cantor, é chamada
"propriedade do conjunto perfeito". Por exemplo, os analíticos (= projeções
de borelianos) possuem essa propriedade (Luzin, 1917). Notar que se uma
certa classe de conjuntos possui a propriedade do conjunto perfeito, então
um contra-exemplo para a Hipótese do Contínuo não vai sair dessa classe !!!
Assim, a Hipótese do Contínuo vale para toda classe de subconjuntos com a
tal propriedade do conjunto perfeito, como são os fechados e os
analíticos...(no sentido de que, para os fechados por exemplo, não existem
tamanhos intermediários)
Obviamente que "ser Lebesgue mensurável" é um carimbo de bom comportamento
possivelmente ainda maior; porém, existem projetivos (= conjuntos obtidos a
partir de uma quantidade finita de projeções e complementos partindo de um
boreliano) não Lebesgue mensuráveis assumindo-se V = L, o tal Axioma da
Construtibilidade.
(O Axioma da Determinação prova que todo subconjunto da reta é Lebesgue
mensurável...)
3) Não sei exatamente o que Gödel queria provar quando fez a construção do
modelo dos construtíveis; nós teoristas de conjuntos simplesmente pensamos
em V = L como uma prova da *consistência* da Hipótese do Contínuo (e do
Axioma da Escolha, de quebra...). O que eu posso dizer é que Cohen, o tal
que inventou o forcing para mostrar a consistência da negação da Hipótese
do Contínuo, esse sim acreditava e declarou abertamento lá no seu livro
(procurem lá nas últimas duas páginas...) que a cardinalidade do contínuo
deveria estar até acima de aleph_omega, que é o limite dos aleph_n.
O que Cohen parece pensar - e que eu, quando estou quase acordando de manhã
ou quase dormindo de noite, tendo a pensar do mesmo jeito - é que o Axioma
das Partes é uma espécie de animal selvagem, e exatamente por não poder ser
dominado o continuo (que, como disse o Miraglia, mais estruturalmente do
que ser a cardinalidade da reta é a cardinalidade das partes de omega !!!)
não poderia ser alcançado nem usando o Axioma da Substituição a partir de
omega... Rodrigo Freire tem uma visão muito mais lúcida do que eu nesse
sentido, já conversamos a respeito, hehe.
4) A coisa do aleph_2: a maioria das tentativas razoáveis de falsear a
Hipótese do Contínuo acaba levando o contínuo para aleph_2. Para começar, o
Proper Forcing Axiom (que é uma versão mais forte do Axioma de Martin,
sendo que este pode ser encarado como uma espécie de versão generalizada do
Teorema de Baire para cardinais entre aleph_0 e o continuo) manda o
contínuo para aleph_2; isso começa a envolver grandes cardinais, porque a
consistência do Proper Forcing Axiom é usualmente obtida a partir de
cardinais supercompactos.
(Sem citar nomes: diz a lenda que, nos anos 90, um lógico brasileiro
declarava que, se mudarmos a lógica subjacente da Teoria dos Conjuntos -
não sei exatamente como, essa história eu só ouvi falar mesmo -, então
poderia ser DEMONSTRADO que o contínuo vale aleph_2 !!!)
5) Os trabalhos de Woodin nos anos 90 meio que misturam tudo o que eu falei
nos 4 comentários anteriores. Ele escreveu dois surveys no Notices of
American Society sobre esse trabalho, e também tem aquele famoso artigo da
revista Quanta Magazine/Scientific American de +- 2013 ("Dispute over
infinite divides mathematicians").
Contando assim em linhas gerais: como disse Miraglia, existe essa idéia de
que deveria haver um "novo" axioma que decidisse a questão do continuum.
Pois bem, o trabalho do Woodin nos anos 90 meio que entende esse axioma
como sendo PD - o Axioma da Determinação Projetiva, o qual declara que os
projetivos são determinados !!! Lembrar que AD, no qual todo subconjunto
seria determinado, é incompatível com o Axioma da Escolha... "Não quero que
todos subconjuntos da reta sejam determinados, mas quero que os projetivos
sejam !!!"
Não existe uma implicação direta, mas a maquinaria de grandes cardinais e
axiomas de forcing que Woodin construiu para obter a consistência de PD
acaba caindo em versões ainda mais fortes do Axioma de Martin (MM -
Martin's Maximum), e, de modo similar ao Axioma de Forcing Próprio, esses
axiomas de forcing acabam levando o contínuo para aleph_2.
O que é curioso é que, depois de todo esse trabalho de mais ou menos 25
anos que apontava para a negação da Hipótese do Contínuo, o que Woodin vem
fazendo nos últimos dez anos vai no caminho oposto: ele está em busca de um
certo "V = Ultimate L", que seria uma espécie de modelo padrão para a
Teoria dos Conjuntos que teria algumas similaridades com V = L, porém seria
compatível com "grandes grandes cardinais", o que não ocorre com V = L; "Se
V = L, não existem mensuráveis" (Dana Scott). Isso de grandes grandes
cardinais não é erro de digitação: os grandes grandes cardinais são aqueles
que são definidos em termos de imersões elementares não-triviais do
universo em modelos internos, e sabe-se que eles são "maiores ou iguais"
(em termos de consistência) aos mensuráveis. Um cardinal mensurável é,
tipicamente, um ponto crítico de uma imersão elementar não-trivial (= o
menor ordinal que é movido pela imersão).
.... Resumo da ópera:
1) A Hipótese do Contínuo vale para conjuntos que possam ser razoavelmente
descritos;
2) A Hipótese Generalizada do Contínuo, que vale no modelo construtível e
portanto é consistente, é mais uma afirmação nesse sentido: se tudo
fosse muito organizado, "construtível", até a Hipótese Generalizada do
Contínuo seria verdadeira;
3) Porém, da mesma forma que o Axioma da Escolha faz com que apareçam
monstrinhos que não são mensuráveis - e aqui a organização vai no sentido
contrário, de construir monstros, como no Paradoxo de Banach-Tarski !!! -,
então assumir que existam conjuntos não-construtíveis/não-organizados
possibilita que existam contra-exemplos para a Hipótese do Contínuo; mas
esses contra-exemplos são, em certo sentido, "conjuntos feios";
4) O Axioma da Determinação prova a Hipótese do Contínuo como Cantor a
conjecturou - porém, AD é incompatível como Axioma da Escolha ! Porém, o
Axioma da Determinação Projetiva parece uma opção razoável que decide o
contínuo como sendo aleph_2 porém necessita de grandes cardinais para ter
sua consistência com ZFC demonstrada.
... Como em toda boa aula, espero que vocês saiam do meu texto com mais
perguntas do que tinham antes, mas para boa parte delas muito possivelmente
eu não sei a resposta !!!!
Atés,
[]s Samuel
On Tuesday, October 8, 2019 at 2:24:48 PM UTC-3, Rodrigo Freire wrote:
>
> Artigo horroroso.
>
>
>
> https://blogs.oglobo.globo.com/ciencia-matematica/post/o-que-maquina-pode-aprender.html
>
>
>
>
>
--
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um
e-mail para [email protected].
Para ver esta discussão na web, acesse
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/cdbbafc0-2f86-4728-b79a-6185ced8384f%40dimap.ufrn.br.
