Caros, Na nossa mensagem anterior, o sinal de [fim da citação] da segunda citação deveria ir logo após a frase
"Por essa razão uma estrutura a valores em PS3 não pode fornecer modelos de ZF completo. Deve necessariamente haver algo errado no segundo resultado principal Teorema 9.4!>>" Abraços Walter e e Marcelo Em qua., 18 de dez. de 2019 às 09:04, Marcelo Esteban Coniglio < [email protected]> escreveu: > Prezados Sourav e Giorgio > > Muito obrigado mais uma vez pelas observações. No entanto, infelizmente > tem alguns erros de argumentação que acabam invalidando as mesmas. > > Antes de prosseguir, gostaríamos de passar a limpo os objetivos das suas > críticas, (1) e (2). > > A crítica (1) visa mostrar que nosso primeiro resultado principal (Theorem > 8.21), que estabelece que os twist-valued models sobre LPT0 satisfazem ZFC, > seria trivialmente obtido do resultado clássico descrito no livro de Bell, > de que os Boolean-valued models satisfazem ZFC. Isto é resumido na seguinte > frase da sua última mensagem: > > [começo da citação] > <<Teorema 8.21 é equivalente ao conhecido resultado "todos os axiomas (daí > todos os teoremas) de ZFC são válidos em V(B), para cada álgebra booleana > completa B".>> > [fim da citação] > > A crítica (2) aponta um suposto erro no nosso segundo resultado principal > (Theorem 9.4), que estabelece que os twist-valued models sobre a lógica > (PS3,*) satisfazem ZFC. A razão seria simplesmente que V(PS3) é modelo do > fragmento sem negação de ZF, e não de ZF completo (com negação), > estabelecido no Corolário 5.2 do paper de Loewe e Tarafder. Isto é resumido > nas seguintes frases da sua última mensagem: > > [começo da citação] > <<Este corolário [5.2 do paper Loewe-Tarafder] apenas diz o seguinte: > [fim da citação] > > "O fragmento livre da negação de ZF é válido em V(PS3)". > > Existem casos de Axioma de Separação, contendo negação, que não são > válidos em V(PS3)! Como podemos entender isso de forma errada quando Sourav > é um dos autores do artigo? > Por essa razão uma estrutura a valores em PS3 não pode fornecer modelos > de ZF completo. Deve necessariamente haver algo errado no segundo resultado > principal Teorema 9.4!>> > > A primeira coisa que tentamos explicar na mensagem anterior é que as > críticas (1) e (2) são (classicamente) contraditórias. > Ou seja: não dá para sustentar as duas críticas ao mesmo tempo. A > explicação é simples: o argumento apresentado para "provar" (1) pode ser > aplicado, mutatis mutandis (e a prova disto segue abaixo), para "provar" a > seguinte variante da sua afirmação acima: > > Teorema 9.4 é equivalente ao conhecido resultado "todos os axiomas (daí > todos os teoremas) de ZFC são válidos em V(B), para cada álgebra booleana > completa B". > > Se assumimos que os resultados do livro de Bell são corretos (acho que > concordamos nesse ponto), então a crítica (2) (que afirma que o Tteorema > 9.4 não vale) é falsa. Logo, (1) e (2) são inconsistentes. > > [Só pra constar: como é que aplicamos os seus argumentos de (1) mutatis > mutandis para PS3 e (PS3,*)? Muito simples: a conjunção e disjunção de PS3 > coincidem com a de LPT0. Dado que PS3 tem bottom 0, o termo x => 0 define a > negação forte ~x de LPT0. Assim, as operações das estruturas twist de PS3 > para a conjunção, disjunção e negação forte são as mesmas daquelas > consideradas em (1). Com relação à implicação => de PS3, diferente daquela > de LPT0, quando passamos para as estruturas twist, a primeira coordenada da > implicação nas twist para PS3 coincide com a primeira coordenada da > implicação nas twist para LPT0 (sendo nos dois casos a implicação Booleana > das respectivas primeiras coordenadas). Isso mostra que as operações > consideradas no argumento em (1) para LPT0 também se aplicam para PS3. E > dai para (PS3,*), dado que a negação paraconsistente * é a mesma de LPT0.] > > Visto que não dá para fazer as duas críticas simultaneamente, e esperando > não cansar os outros leitores desta lista com esta longa discussão, > apresentaremos a seguir breves considerações para mostrar que nenhum dos > argumentos dados na sua mensagem em favor de (1) e (2) procedem. > > Comecemos por (2), que é mais fácil de analisar por se tratar apenas de um > erro de interpretação da terminologia. O Corollary 5.2 do paper de > Loewe-Tarafder diz exatamente: > > COROLLARY 5.2. For any filter D, all axioms of NFF-ZF are D-valid in > V(PS3). > > Esclarecendo para os demais leitores, D é o conjunto de valores > distinguidos para analisar os modelos. Pode ser D={1} ou D={1, 1/2}. > Por outro lado, NFF é definido na pag. 193 (pag. 2 do pdf) como sendo o > conjunto de "negation-free formulas". Tecnicamente, e como consta nesse > trecho do artigo, é a álgebra de fórmulas obtida das atômicas com os > quantificadores universal e existencial, conjunção, disjunção, implicação e > bottom. Assim, a negação clássica pode ser definida em NFF (embora o nome > possa levar a enganos). O artigo esclarece isso em várias oportunidades. > Por exemplo, no fim da pag. 193 (pag. 2 do pdf) é afirmado: > "if the logic we are working in allows to define negation in terms of the > other connectives (as is the case, e.g., in classical logic), then every > formula is equivalent to one in NFF". Ou seja: negation-free fórmulas sobre > a lógica clássica tem negação clássica (embora não primitiva). Não > paraconsistente ou paracompleta, mas clássica. > > E o que significa então a NFF-ZF do Corollary 5.2? Obviamente é a teoria > de conjuntos ZF da lógica clássica expresada na linguagem NFF. Sem negações > clássicas (explícitas), mas representando elas como ~p = p -> F onde F é o > símbolo do bottom. Logo, NFF-ZF coincide com ZF clásico completo, com > negações clássicas (mas não paraconsistentes ou paracompletas), e então o > Corollary 5.2 afirma, *sim*, que V(PS3) é modelo de ZF clássico, completo, > sem negações paraconsistentes (mas com negações clássicas). Para constatar > estas afirmações reproduzimos o final do primeiro parágrafo da pag. 197 do > paper de Loewe-Tarafder (pag. 6 do pdf): > > We write NFF-Separation and NFF-Replacement for the axiom schemes where we > only allow the instantiation by negation-free formulas, and we write > NFF-ZF− and NFF-ZF for negation-free set theory using these schemes [ZF− é > ZF menos Foundation]. We emphasize once more that in settings where > negation can be defined in terms of negation-free formulas (such as > classical logic), this coincides (up to provable equivalence) with standard > Zermelo-Fraenkel set theory. > > A última frase é definitiva: NFF-ZF coincide (a menos de linguagem) com ZF > completa (com negação). Logo, repetindo mais uma vez, o Corollary 5.2 prova > que V(PS3) é um modelo de ZF, incluindo NFF-Separation (que é equivalente o > axioma de Separação clássico, como consta na frase acima extraída do texto > original). > Nós mostramos no nosso artigo que é possível generalizar PS3 (que é uma > estrutura twist definida sobre a álgebra de Boole de 2 elementos) para > estruturas sobre qualquer álgebra de Boole completa, e todas elas > (incluindo PS3) satisfazem *também* o Axioma da Escolha (ver Teorema 9.4). > > Vamos agora à crítica (1): a crítica aponta a suposta trivialidade do > Theorem 8.21, que estabelece que os twist-valued models sobre LPT0 > satisfazem ZFC. Isto seria obviamente deduzível do resultado provado em > Bell para Boolean-valued models. Vamos ao seu argumento: > > [começo da citação] > <<A estrutura twisted para LPT0 sobre uma álgebra booleana A é uma > estrutura TA = ( TA, meet, join, arrow, ~, lnot ), onde as operações meet, > join, arrow, e ~ são definidas de forma que a primeira coordenada é igual à > do meet, join, arrow, e ~ da álgebra booleana A (Definição 4.6; p8). O > conjunto designado de TA é D = {(1, a) : onde a é qualquer elemento de A e > 1 é o elemento superior de A}. > > Nós afirmamos que a subestrutura TA_sub = ( TA, meet, join, arrow, ~ ), > excluindo o conectivo "\lnot", com o conjunto designado D é igual a uma > álgebra booleana no seguinte sentido: > > (#) uma fórmula phi (expressa na linguagem com assinatura (meet, join, > arrow, ~)) é válida com respeito a (TA_sub, D) iff é válida com respeito a > uma álgebra booleana.>> > [fim da citação] > > Aqui encontramos um problema técnico insalvável. O reduto (não > subestrutura) TA_sub de TA não é uma álgebra Booleana, de maneira alguma: > não tem elemento máximo, condição sine qua non para ser uma álgebra de > Boole. Por sinal, (z1,z2) join ~(z1,z2) = (z1,z2) join (~z1,z1) = (1, z1 ^ > z2) (onde "1", "~" e "^" denotam o elemento máximo, o complemento Booleano > e o ínfimo em A respectivamente). Mais ainda, se fosse verdade que TA_sub é > uma álgebra de Boole, então tomando A={0,1} (a álgebra de Boole de 2 > elementos) então TA_sub teria como domínio (1,0), (1,1) e (0,1), isto é, > seria uma álgebra de Boole de 3 elementos (por sinal, neste caso TA_sub é > isomorfo a PS3). > > Continuado com o raciocínio, a afirmação (#) parece não ter sentido: qual > seria a álgebra Booleana? TA_sub? > > A conclusão obtida por vocês a partir de (#) e da constatação ($), de que > o que nós chamamos de "linguagem pura de ZF" é a o fragmento sem negação > paraconsistente (isto é correto), é a seguinte: > > [começo da citação] > <<Combinando (#) e ($) dissemos isso: Teorema 8.21 é equivalente ao > conhecido resultado "todos os axiomas (daí todos os teoremas) de ZFC são > válidos em V(B), para cada álgebra booleana completa B".>> > [fim da citação] > > E nós continuamos a perguntar: qual é a álgebra de Boole B? TA_sub? > > Enfim, achamos que a discussão está ficando um pouco longa e talvez > entediante para as demais pessoas. Pode se questionar se os twist-valued > models são interessantes ou não, ou se poderia ser simplificada nossa prova > do Teorema 8.21. Mas não deveria haver dúvidas da correção do Teorema 9.4, > dado os argumentos exibidos acima. > > Resumindo: no nosso artigo apresentamos uma expansão dos Boolean valued > models com uma negação paraconsistente, permitindo considerar conjuntos > "inconsistentes". O fato de ter uma família de modelos baseada nas álgebras > de Boole completas permite, por exemplo, o estudo do forcing na teoria > paraconsistente ZF-LPT0. isso é um ganho com relação ao (excelente) > trabalho pioneiro de Loewe e Tarafder, no qual só uma estrutura > paraconsistente estava a disposição. > > Agradecemos a vocês pela análise minuciosa e aguda que fizeram, que nos > obrigou a repensar e justificar melhor a importância da nossa proposta. > Este tipo de discussões acadêmicas sadias é muito edificante. > > Um grande abraço > > Walter e Marcelo > > Em ter., 17 de dez. de 2019 às 11:55, Giorgio Venturi < > [email protected]> escreveu: > >> Caro Marcelo e Walter, >> >> Obrigado pelo e-mail. Depois de lê-lo, continuamos a insistir nos pontos >> matemáticos que mencionámos no nosso e-mail anterior, que diz precisamente >> o seguinte. >> >> (1) Nós não dissemos que a estrutura twisted para a lógica LPT0 é >> booleana: é claro que ela contém duas negações diferentes "~" e "\lnot". >> >> A estrutura twisted para LPT0 sobre uma álgebra booleana A é uma >> estrutura TA = ( TA, meet, join, arrow, ~, lnot ), onde as operações meet, >> join, arrow, e ~ são definidas de forma que a primeira coordenada é igual à >> do meet, join, arrow, e ~ da álgebra booleana A (Definição 4.6; p8). O >> conjunto designado de TA é D = {(1, a) : onde a é qualquer elemento de A e >> 1 é o elemento superior de A}. >> >> Nós afirmamos que a subestrutura TA_sub = ( TA, meet, join, arrow, ~ ), >> excluindo o conectivo "\lnot", com o conjunto designado D é igual a uma >> álgebra booleana no seguinte sentido: >> >> (#) uma fórmula phi (expressa na linguagem com assinatura (meet, join, >> arrow, ~)) é válida com respeito a (TA_sub, D) iff é válida com respeito a >> uma álgebra booleana. >> >> Agora, um dos principais resultados do trabalho de vocês, Teorema 8.21 é >> o seguinte." Todos os axiomas (daí todos os teoremas) do ZFC, quando >> restritos a línguas ZF puras Lp(TA) (ver Definição 7.2), são válidos em >> V(TA), para cada A. ". >> >> ($) Note que a Definição 7.2 diz que a linguagem ZF pura não contém o >> conectivo "\lnot", ou seja, os únicos conectivos são os conectivos de >> TA_sub. >> >> Combinando (#) e ($) dissemos isso: Teorema 8.21 é equivalente ao >> conhecido resultado "todos os axiomas (daí todos os teoremas) de ZFC são >> válidos em V(B), para cada álgebra booleana completa B". >> >> Infelizmente, não há nenhuma prova no paper de que esta equivalência não >> seja correta. Em outros termos, embora as estruturas twisted pareçam >> interessantes, elas não fornecem, no paper, novos modelos de ZFC. >> >> (2) Não existe nenhum Corolário 11 (nem Theorem 9 e 4) no paper de Loewe >> e Tarafder. Provavelmente o corolário que você queria mencionar é o >> Corolário 5.2 (na página 10); a versão publicada deste artigo está anexada >> a este correio. Este corolário apenas diz o seguinte: >> >> "O fragmento *livre da negação* de ZF é válido em V(PS3)". >> >> Existem casos de Axioma de Separação, contendo negação, que não são >> válidos em V(PS3)! Como podemos entender isso de forma errada quando Sourav >> é um dos autores do artigo? >> Por essa razão uma estrutura a valores em PS3 não pode fornecer modelos >> de ZF completo. Deve necessariamente haver algo errado no segundo resultado >> principal Teorema 9.4! >> >> Saudações, >> Sourav e Giorgio >> published version in RSL.pdf >> <https://drive.google.com/file/d/0B6AE1HSLVfELbWs5aXJGaWVuV2Z5UEZHUmZxLWxqMVVOUGVj/view?usp=drivesdk> >> >> >> Le lun. 16 déc. 2019 16:45, Marcelo Esteban Coniglio <[email protected]> >> a écrit : >> >>> Caros Sourav e Giorgio, >>> >>> Com relação à sua mensagem, agradecemos pelo interesse em nosso artigo, >>> mas gostaríamos de esclarecer alguns enganos de vossa parte na apreciação >>> dos resultados. >>> >>> (1) Vocês afirmam "Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted, >>> que são as novas estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto, >>> o primeiro resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas >>> precedentes) é uma consequência direta (e não uma extensão) do resultado >>> bem conhecido de que as estruturas a valores booleanos validam todos os >>> axiomas ZFC (veja o livro do Bell "Set Theory") [...] o que leva ao fato de >>> que as álgebras booleanas twisted [...] não são nada além de álgebras >>> booleanas. Portanto, as estruturas twisted não oferecem novos modelos para >>> ZFC." >>> >>> Há aqui um engano. As estruturas twist para a lógica 3-valorada LPT0, a >>> partir das quais construímos os modelos de ZFC, formam uma variedade de >>> álgebras que é termwise equivalente à variedade MV3 de MV-álgebras que são >>> a classe de modelos de L3, a lógica 3-valorada de Lukasiewicz. Isto é >>> consequência do fato de que LPT0 coincide (a menos de linguagem) com a >>> lógica J3 de da Costa e D'Ottaviano, a qual é por sua vez equivalente (no >>> sentido introduzido por Blok e Pigozzi em "Abstract algebraic logic and the >>> deduction metatheorem") com L3. Logo, do ponto de vista algébrico, os >>> twist-valued models que nós introduzimos para a teoria de conjuntos vão >>> além dos Boolean-valued models: as MV álgebras de MV3 não são Boolean >>> algebras em geral. Checar a satisfação dos axiomas de ZFC nessas estruturas >>> requer uma análise minuciosa da longa demonstração apresentada no referido >>> livro de Bell, adaptando em certos pontos alguns detalhes técnicos para o >>> contexto mais geral das twist-structures. As estruturas twist para LPT0 >>> contém álgebras de Boole como subestruturas (por exemplo, o conjunto dos >>> pares da forma (a,~a)), mas há mais coisas nesses modelos: a segunda >>> coordenada dos pares nao é necessariamente o complemento booleano da >>> primeira, há uma negação paraconsistente, e há conjuntos "inconsistentes" x >>> tais que (x=x) e não (x=x) é o caso, onde obviamente "não" é a negação >>> paraconsistente. Assim, os Boolean-valued models foram levados para um >>> contexto mais geral. >>> >>> Se a proximidade dos twist-valued models com os Boolean-valued models no >>> fragmento sem negação paraconsistente (o ZF "puro") é visto como uma >>> limitação, essa limitação já aparece no (único) modelo de ZF "puro" >>> apresentado no artigo de Lowe e Tarafder, PS3. Com efeito, o raciocínio que >>> vocês apresentam para as estruturas twist para LPT0 no início da sua >>> mensagem pode ser aplicado mutatis mutandis às estruturas twist para PS3, >>> também apresentadas no nosso paper: aqueles items (i) a (iii) valem também >>> para as estruturas twist para PL3. Logo, a classe de modelos de ZF baseados >>> nessas estruturas (em particular PS3!) seriam Boolean-valued models de ZF, >>> segundo seu raciocínio. Mas já esclarecemos acima que esse não é bem o caso. >>> >>> Justamente um ponto interessante do nosso artigo é que apresentamos uma >>> abordagem diferente daquela apresentada por Lowe e Tarafder, abstraindo a >>> estrutura de PS3 para estruturas twist em lugar de analisar as propriedades >>> das implicações (como é feito naquele artigo, que de todas maneiras explora >>> muito bem diferentes implicações para definir novos modelos algébricos de >>> fragmentos de ZF), o que permitiu obter uma classe de modelos de ZF, um >>> modelo para cada álgebra de Boole completa. Analisar as coisas desde essa >>> perspectiva permitiu provar que PS3 é *também* modelo do axioma da escolha, >>> adaptando a prova para LPT0 dada no paper (adaptada, por sua vez, da prova >>> de Bell, como foi mencionado antes). Os detalhes não foram dados no artigo >>> porque é realmente uma adaptação imediata do caso de LPT0. Isto nos leva à >>> segunda questão: >>> >>> (2) Vocês mencionam no final da mensagem que "O segundo resultado >>> principal do artigo [...] afirma que a estrutura twisted para PS_3 [...] é >>> um modelo de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta >>> afirmação no artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há >>> instâncias (do esquema) de separação que não são válidas no modelo a >>> valores na álgebra PS_3." >>> >>> Esta frase é curiosa, dado que Lowe e Tarafder mostram no Corollary 11 >>> que PS3 é modelo de ZF. Em particular, o esquema de Separação é satisfeito >>> por PS3 (é uma consequência dos Theorems 4 e 9). Evidentemente houve aqui >>> também um engano. O que é mostrado nesse artigo, na seção "Comparison to >>> other paraconsistent set theories" (Theorem 15), é que PS3 não satisfaz >>> algumas instâncias do esquema de *Compreensão* da teoria ingênua de >>> conjuntos, que no entanto é satisfeito por algumas teorias paraconsistentes >>> de conjuntos apresentadas na literatura. >>> >>> Finalmente, consideramos que é muito bom que a área de teoria >>> paraconsistente de conjuntos tenha novas propostas, saindo da tradicional >>> abordagem da teoria ingênua de conjuntos e tentando, no seu lugar, analisar >>> (extensões de) ZF/ZFC. Alguns anos atrás nós propusemos uma variante >>> paraconsistente de ZF, baseada em lógicas da inconsistência formal (LFIs), >>> no artigo "Paraconsistent set theory by predicating on consistency" >>> publicado em 2013 no Journal of Logic and Computation. Ali nos baseamos em >>> LFIs muito fracas, não algebrizáveis, e apresentamos uma versão axiomática, >>> sem modelos. O passo seguinte era utilizar lógicas mais fortes, e J3 era a >>> opção mais óbvia. Assim, motivados pelo belo artigo de Lowe e Tarafder, >>> decidimos retomar a questão, introduzindo os twist-valued models. Achamos >>> que esta semântica pode oferecer uma perspectiva interessante para diversas >>> teorias paraconsistentes de conjuntos. >>> >>> Um abraço >>> >>> Walter e Marcelo >>> >>> Em dom., 15 de dez. de 2019 às 13:04, Giorgio Venturi < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Caros membros da lista de lógica, >>>> >>>> Escrevemos a respeito do artigo recentemente (5 de dezembro) publicado >>>> nesta lista: "Twist-Valued Models for Three-Valued Paraconsistent Set >>>> Theory", de Carnielli e Coniglio. Em razão do tema, tão próximo ao nosso >>>> trabalho, sentimos a necessidade de apontar alguns aspectos importantes, >>>> para que as afirmações não induzam em erro os pesquisadores que trabalham >>>> nessa área. >>>> >>>> Em primeiro lugar, a validade nas estruturas Twisted, que são as novas >>>> estruturas introduzidas no artigo, é booleana e, portanto, o primeiro >>>> resultado principal Teorema 8.21 (como todos os lemas precedentes) é uma >>>> consequência direta (e não uma extensão) do resultado bem conhecido de que >>>> as estruturas a valores booleanos validam todos os axiomas ZFC (veja o >>>> livro do Bell "Set Theory"). A razão é que >>>> >>>> (i) a validade é definida apenas em função do primeiro componente do >>>> produto (definição 4.7), >>>> (ii) as operações "meet", "join", "arrow", e "~" da Twist-algebra são >>>> as mesmas da álgebra booleana, no primeiro componente, >>>> (iii) o conjunto de valores designados de álgebra booleana twisted é >>>> tomado como {(1,a) : a é qualquer elemento da álgebra}. >>>> >>>> o que leva ao fato de que as álgebras booleanas twisted com as >>>> operações mencionadas em (ii) e o conjunto de valores designados mencionado >>>> em (iii) não são nada além de álgebras booleanas. Portanto, as estruturas >>>> twisted não oferecem novos modelos para ZFC. >>>> >>>> O segundo resultado principal do artigo Theorem 9.4 e Remark 9.5 afirma >>>> que a estrutura twisted para PS_3 (introduzida como reasonable implication >>>> algebra, necessária para produzir modelos de teoria de conjuntos no artigo >>>> "Generalized algebra-valued models of set theory", de Loewe e Tarafder) é >>>> um modelo de todos os axiomas de ZFC. Embora não haja provas desta >>>> afirmação no artigo, é fácil mostrar que isto é falso. De fato, há >>>> instâncias (do esquema) de separação que não são válidas no modelo a >>>> valores na álgebra PS_3. >>>> >>>> Atenciosamente, >>>> Sourav Tarafder >>>> Giorgio Venturi >>>> >>>> Il giorno gio 5 dic 2019 alle ore 19:54 Joao Marcos <[email protected]> >>>> ha scritto: >>>> >>>>> Coincidentemente (?), o Sourav Tarafder fez uma excelente exposição do >>>>> trabalho precursor dele sobre o tema, esta tarde, na USP: >>>>> >>>>> 1st Workshop "Studies in Mathematical Workshop" >>>>> https://sites.google.com/site/studiesinmathematicallogic/programa >>>>> >>>>> Vocês têm sorte de poder dialogar diretamente com ele sobre o assunto, >>>>> dado que ele é atualmente Professor Visitante aí mesmo na UNICAMP, >>>>> trabalhando com o Giorgio Venturi! >>>>> >>>>> Abraços, >>>>> JM >>>>> >>>>> >>>>> On Thu, Dec 5, 2019, 12:36 Walter Carnielli < >>>>> [email protected]> wrote: >>>>> >>>>>> Caros colegas: >>>>>> >>>>>> Em vista do interesse do assunto, julgamos apropriado divulgar, >>>>>> abraços, >>>>>> Walter >>>>>> ========================= >>>>>> Twist-Valued Models for Three-valued Paraconsistent Set Theory >>>>>> W. Carnielli and M. E. Coniglio >>>>>> https://arxiv.org/pdf/1911.11833.pdf >>>>>> >>>>>> Light abstract: >>>>>> >>>>>> Paraconsistent set theory (PST) is the theoretical move to maintain >>>>>> the freedom of defining sets, while stripping the theory of >>>>>> unnecessary principles, so as to avoid triviality -- a disastrous >>>>>> consequences of contradictions involving sets in ZF. A hard problem >>>>>> is to find good models for PST. >>>>>> >>>>>> B. Löwe and S. Tarafder proposed in 2015 a class of algebras based on >>>>>> a certain kind of implication which satisfy several axioms of ZF. From >>>>>> this class, they found a specific 3-valued model called PS3 which >>>>>> satisfies all the axioms of ZF, and can be expanded with a >>>>>> paraconsistent negation *, thus obtaining a paraconsistent model of >>>>>> ZF. The logic (PS3 ,*) coincides (up to the language) with da Costa >>>>>> and D'Ottaviano logic J3, a 3-valued paraconsistent logic that have >>>>>> been proposed independently in the literature by several authors and >>>>>> with different motivations such as CluNs, LFI1 and MPT. >>>>>> >>>>>> We propose in this paper a family of algebraic models of ZFC based on >>>>>> LPT0, another linguistic variant of J3 introduced by us in 2016. The >>>>>> semantics of LPT0, as well as of its first-order version QLPT0, is >>>>>> given by twist structures defined over Boolean algebras. >>>>>> >>>>>> Twist-valued models are natural generalizations of the Boolean-valued >>>>>> models of set theory independently introduced by Scott, Solovay and >>>>>> Vopěnka. >>>>>> >>>>>> Our twist-valued models are adapted to provide a class of twist-valued >>>>>> models for (PS3,*), thus generalizing Löwe and Tarafder's results. >>>>>> It is >>>>>> shown that they are in fact models of ZFC (not only of ZF). >>>>>> ==================================== >>>>>> >>>>>> Walter Carnielli >>>>>> https://waltercarnielli.com/ >>>>>> >>>>>> Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and >>>>>> Department of Philosophy >>>>>> State University of Campinas –UNICAMP >>>>>> 13083-859 Campinas -SP, Brazil >>>>>> >>>>>> CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379 >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo >>>>>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google. >>>>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>>>>> envie um e-mail para [email protected]. >>>>>> Para ver esta discussão na web, acesse >>>>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CA%2Bob58PmnD0nmGai5Fz4kfeJ_Dd%3DTq0Z%3DnVeFH9Y22F1GdeMeQ%40mail.gmail.com >>>>>> . >>>>>> >>>>> -- >>>>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" >>>>> dos Grupos do Google. >>>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>>>> envie um e-mail para [email protected]. >>>>> Para ver essa discussão na Web, acesse >>>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LghOhb_Vgg6pCzgP%3DEd3Qkjv2hqQpCfOi5s6GnFFdpVHg%40mail.gmail.com >>>>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LghOhb_Vgg6pCzgP%3DEd3Qkjv2hqQpCfOi5s6GnFFdpVHg%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> >>>>> . >>>>> >>>> -- >>>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >>>> Grupos do Google. >>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>>> envie um e-mail para [email protected]. >>>> Para ver essa discussão na Web, acesse >>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAECRgWW5g4zwAZ2UOsFS11MfA7PW%2BO-zaKwfM9DZG9Ztams9tw%40mail.gmail.com >>>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAECRgWW5g4zwAZ2UOsFS11MfA7PW%2BO-zaKwfM9DZG9Ztams9tw%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> >>>> . >>>> >>> -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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