... Legal,
Essa sua observação me lembra uns truques com quantificadores que livros
americanos de topologia dos anos 50 usavam...
Por exemplo, em algum desses livros você encontra coisas do tipo "dada
qualquer família de subconjuntos de um conjunto X, a família de todas as
suas intersecções finitas é uma base para uma topologia sobre X", assim bem
direto, sem entrar em muitos detalhes
(ou, equivalentemente, dada qualquer família de subconjuntos de X, essa
família pode ser tomada como subbase para uma topologia sobre X)
Pois é. Pensando com a visão de hoje, se a união dessa família de
subconjuntos não for o X todo, na prática o que tem que ser feito é juntar
o unitário de X à todas essas intersecções de subfamílias finitas, pois
todo ponto tem que pertencer a pelo menos um aberto... Então a base, na
verdade, seria "todas as intersecções de subfamílias finitas da família
dada inicialmente, unindo com o unitário de X, formam uma base para uma
topologia", e essa topologia é a menos fina que contém a família de
subconjuntos dada inicialmente (e mais o X mas o X tem que estar em
qualquer topologia de todo jeito,
não tem muita graça...).
E, como todo bom conjuntista, essas intersecções de subfamílias finitas têm
que ser subfamílias finitas e não-vazias - já que a intersecção da família
vazia é o universo todo, que não é conjunto... "Não intersectarás o vazio".
Então eu, aqui no séc. XXI, complico o enunciado para "dada qualquer
família de subconjuntos de X, a família de todas as suas intersecções
finitas *e* não-vazias, unida com o unitário de X, é base para uma
topologia".
Ficou bem mais chato, né ?
PORÉM, para esses caras dos anos 50, o vazio não é um só, teríamos "mais
vazios", seria algo do tipo que você propõe !
A "intersecção da família vazia", pensando como existindo um único vazio,
dá o universo todo, logo não podemos considerá-la.
Porém se concebermos a existência da "família vazia de subconjuntos de X",
i.e. a família é vazia mas a gente imagina que todos os moradores dessa
família vazia são subconjuntos de X... some o paradoxo da intersecção do
vazio ser o universo: pois aí
a intersecção da família vazia de subconjuntos de X dá... X !!! (bom
exercício para os estudantes que estão lendo).
Assim como a intersecção da família vazia de subconjuntos de Y dá Y,
a intersecção da família vazia dos subconjuntos de Z dá Z... Para cada
conjunto uma família vazia de seus subconjuntos, e para cada uma delas uma
intersecção que funciona e que realmente ajuda na formação da tal base de
topologia que o carinha dos anos 50 queria, bem simples
e bem rápido...
Por mais vazios então, muito bem !
Até
[]s Samuel
PS: Comentário para os estudantes: o truque acima de pensar que o vazio é
formado só por subconjuntos de X, hehe, não é muito diferente
do que fazemos quando um reticulado é limitado superiormente, i.e. tem
máximo. Por vacuidade, todo elemento do reticulado
é uma cota inferior para o conjunto vazio. Assim, o máximo do reticulado é
a maior cota inferior do vazio... Logo o ínfimo do vazio é... !!!
Não é muito diferente de intersectar um vazio esperto, se o reticulado
for... De subconjuntos de X.
Em segunda-feira, 6 de junho de 2022 às 19:47:57 UTC-4, Joao Marcos
escreveu:
> > ---> o conjunto vazio por não ser uma coleção (???)
>
> O que é realmente _pouco natural_ é conceber uma teoria que é tão
> homogênea a ponto de dispor de apenas _uma_ coleção vazia!
>
> {}s, JM
>
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