1. Seria interessante se alguém colocasse aqui uns liames para os artigos originais do Gödel na internet, ou traduções confiáveis. Cotejar o que ele escreveu com o que foi feito por outros depois é um bom método para guiar mais claramente a discussão.
2. A questão de tratar da incompletude num meta-nível qualquer não se restringe a discutir as características do sistema de representação que vai ser usado. O que estava em discussão para Gödel e contemporâneos eram os limites do próprio método axiomático e da própria relação entre matemática e lógica. Como sabemos disso? Sabemos disso porque no século XIX esses dois temas tinham dominado os debates lógicos e tinham crescido cada vez mais. Foi nesse período que surgiram as lógicas multivalentes. Gödel conhecia o trilema de Aristóteles, sabia das limitações do método axiomático e também versões anteriores do paradoxo do mentiroso. Hilbert quando escreveu seu manifesto (que as pessoas podem ler no livro de Carnielli e Epstein) aparentava não estar consciente dessas coisas. Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2019, Rodrigo Freire < [email protected]> escreveu: > Legal, vamos ver como o teorema de Godel na versão que mencionei (TMR) *se > aplica* nesse caso sem aritmetização no sentido usual (sequer há um > predicado para os números naturais). Depois analiso a falha de > representabilidade. > > Sim, a teoria dos corpos reais fechados (corpos ordenados tais que todo > positivo é quadrado e todo polinômio satisfaz o teorema do valor > intermediário) e a teoria dos corpos algebricamente fechados de > característica zero são completas e decidiveis. Vou considerar a teoria dos > corpos reais fechados, denotada por T. > > Os termos fechados dessa teoria são termos para números inteiros. Vamos > pensar na seguinte correspondência 1-1 entre termos e fórmulas: enumeramos > os teoremas com os números negativos e os não teoremas com os não > negativos. Se F é fórmula, ‘F’ será o termo fechado correspondente ao > número na numeração acima. Por exemplo, se F é o primeiro teorema, ‘F’ será > o termo -1. Se F é o primeiro não teorema, ‘F’ é o termo 0. > > Assumida essa correspondência entre fórmulas e termos fechados, temos que > a teoremicidade de T é representada pela fórmula x<0. > De fato, se F é teorema, ‘F’ < 0 é teorema de T, e se F não é teorema, > ~(‘F’ < 0) é teorema de T. > > O teorema de Godel se aplica e T não representa a diagonalização (para a > correspondência entre fórmulas e termos). T falha em representar a > metamatemática elementar, portanto falha em fornecer uma representação > formal exaustiva da matemática. > > > Poderíamos dizer que a representabilidade falha porque essas teorias > admitem eliminação de quantificadores: os quantificadores não adicionam > poder de definibilidade dentro dessa teoria. Mas esse não é um resultado > óbvio, que está presente desde o início, por isso essa resposta pode não > ser satisfatória. > > O que é mais básico é que T não é suposta ser uma representação formal > exaustiva da matemática. Ao contrário, desde o início se sabe que muita > coisa fica de fora. T não é capaz de representar outras funções contínuas > elementares (e.g. exponencial) além dos polinômios. > > Mas Essa teoria não está sozinha nisso. A dicotomia de Godel implica que, > dada uma T consistente e uma correspondência entre fórmulas e termos > fechados de T, pelo menos uma entre diagonalização e representabilidade > escapa à representação formal em T. Ou seja, não temos uma representação > formal exaustiva da matemática. > > Abraço > Rodrigo > > > > > > Em 29 de dez de 2019, à(s) 23:38, Carlos Gonzalez <[email protected]> > escreveu: > > > > > > Prezado Chico e lista, > > > > Já que estamos no problema da representabilidade da aritmética, quero > mencionar uma questão que gerou bastante confusão décadas atrás e que > talvez alguns lógicos mais novos desconheçam. > > > > Trata-se de teorias de corpos ordenados. Algumas delas (característica > zero? corpos algébricos completos?) são completas e não se aplica o Teorema > de Incompletude. > > Esses corpos tem o zero, o 1, e as operações adição e multiplicação. > > Por exemplo: tem 0, 1, 1+1, 1+1+1, etc. > > Não tem um predicado "x é um número natural" e não tem as definições > recursivas de adição e produto. > > O que poderíamos dizer de por que falha a representabilidade? > > -- > Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" > dos Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para [email protected]. > Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/ > dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/5282631B-D946-482D-B751- > E0B92D249084%40gmail.com. > -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAEsiyHQWHBP9SgzZBtM--%2BMpanEfOK8K%3D0mDukX9E-kdv6hBGQ%40mail.gmail.com.
