Oi Márcio, Não vi ainda mas parece interessante.
Você poderia comentar um pouco sobre as relações entre Flow Theor <http://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/t/fed74aa17f31ddda?utm_source=digest&utm_medium=email>y e teoria de tipos ,em particular sobre o abstrator lambda que forma funções? W. Em qua, 6 de nov de 2019 08:10, <[email protected]> escreveu: > [email protected] > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/forum/?utm_source=digest&utm_medium=email#!forum/logica-l/topics> > Grupos > do Google > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/forum/?utm_source=digest&utm_medium=email/#!overview> > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/forum/?utm_source=digest&utm_medium=email/#!overview> > Resumo por e-mail dos temas > Ver todos os temas > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/forum/?utm_source=digest&utm_medium=email#!forum/logica-l/topics> > > - INSCRIÇÕES ATÉ 12/11/2019: Prof > <#m_2500684615994902327_group_thread_0> > > > - Flow Theory: conjuntos, relações e categorias como casos > particulares do conceito de função > > <http://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/t/fed74aa17f31ddda?utm_source=digest&utm_medium=email> > > > "Márcio Palmares" <[email protected]>: Nov 05 10:29AM -0200 > > Olá, pessoal! > > Compartilho a seguir o link para o preprint de um artigo que será em breve > publicado (assim esperamos): > > http://philsci-archive.pitt.edu/16610/ > > Trata-se de uma teoria de primeira ordem com igualdade e uma única letra > funcional, cuja interpretação pretendida é o conceito intuitivo de função, > mais precisamente a ideia de "valoração", "calcular em", ou "avaliação" > (evaluation): f_1^2(x, y) = x(y). > > O propósito dessa teoria é modificar a máxima "todas as coisas são > conjuntos", ou "tudo é conjunto", substituindo-a por "todas as coisas são > funções" ou "tudo é função". > > Não é um programa novo, apesar de os resultados que apresentamos no > preprint, sim, são novos. Entre eles, destacamos: > > 1) O paradoxo de Russell é evitado de forma muito simples, sem necessidade > de algo similar ao Esquema de Separação; > > 2) A definição usual de igualdade de funções é um teorema em Flow, que > decorre de um axioma de extensionalidade associado a "propriedades > universais" de duas funções especiais; > > 3) Par ordenado é teorema; > > 4) Potência é teorema; > > 5) Não há redução do conceito de avaliação ao de composição, como em > categorias, tais ideias permanecem distintas, o que nos permite observar > fenômenos que não aparecem quando usamos apenas "lentes categoriais". > > Como é bem sabido, von Newmman introduziu em seu famoso artigo de 1925 uma > proposta de fundamentação para a matemática inteiramente assentada na ideia > de função, isto é, em que os conjuntos são definidos por meio de funções e, > portanto, figuram numa posição subordinada. > > Por outro lado, é também evidente que a teoria de categorias concede grande > centralidade à ideia de função (generalizada no conceito de morfismo), > subordinando os conjuntos ao papel de meros objetos que, a rigor, são > dispensáveis: podem ser substituídos por morfismos-identidade ("object-free > definition"). Note-se, a propósito, a antevisão de von Neumman, que > apresentou sua proposta vinte anos antes do artigo "A general theory of > natural equivalences" de Eilenberg e Mac Lane. (Não estamos sugerindo > correlação direta entre tais trabalhos ou entre as duas visões sobre > matemática que eles representam, apenas tentando enfatizar o papel > preponderante que funções podem adquirir frente aos conjuntos.) > > O trabalho que agora submetemos à critica é um desenvolvimeto de pesquisas > realizadas há vários anos pelo Prof. Adonai Sant'anna, em parceria com o > Prof. Otávio Bueno e com o Prof. Newton da Costa, sobre a possibilidade de > eliminar o máximo número de conceitos primitivos "dispensáveis" (definíveis > por meio de outros) na axiomatização de teorias físicas e também de teorias > matemáticas usuais, como a teoria de conjuntos. > > A primeira formulação das ideias que deram origem à Teoria Flow apareceu > num artigo do Prof. Adonai e do Prof. Otávio Bueno publicado em 2014, > intitulado "Sets and functions in theoretical physics". Neste trabalho, > entretanto, a então "Teoria N" mantinha-se ainda muito próxima da ideia > original de von Neumman e não se fazia uso sistemático de métodos > categoriais (busca pelos fenômenos de dualidade, adjunção, propriedades > universais, etc.) para a obtenção de linhas de investigação ou resultados > novos. Por isso, duas funções especiais, constantes introduzidas por von > Neumman para fazer o papel análogo ao daquilo que hoje chamamos de > "classificador de subobjetos" de Set, isto é, ligadas ao conceito de função > característica, permaneciam sem significado na Teoria N, a despeito do fato > de que o próprio artigo já sugerisse a possibilidade de investigar com mais > profundidade o possível significado dessas funções. > > Na formulação atual, tais constantes, representadas com 0 e 1, são agora > funções muito especiais, que possuem "propriedades universais", de certo > modo "duais" (a notação já sugeria, desde a Teoria N, embora não > intencionalmente, a dualidade objeto terminal vs. inicial). > > Por estar assentada no conceito de avaliação (evaluation) e não no conceito > de composição, como a teoria de categorias, Flow é simultaneamente distinta > da teoria de categorias e parece conter a teoria de categorias, na medida > em que esta pode ser vista como a descrição de um subuniverso de Flow, em > que por razões práticas pode ser útil introduzir a ideia de composição > restrita, domínio e codomínio, etc. (Em Flow, todas as funções são > "componíveis", não há necessidade, em princípio, dos conceitos de domínio e > codomínio, mas eles podem ser facilmente introduzidos.) > > O nome Flow Theory é uma alusão à filosofia de Heráclito, que compreende a > realidade como um processo de transformação permanente, um fluxo de > transformações e mudanças. Tal escolha está, portanto, em oposição à > "filosofia" implícita na ideia de conjuntos abstratos, onde os entes do > universo matemático são coisas estáticas, com elementos igualmente > estáticos, que se relacionam com os conjuntos por meio da rígida relação de > pertinência. Em Flow, os entes do universo são funções, processos de > transformação. As transformações atuam umas sobre as outras produzindo > novas transformações. Aqui há um notável paralelo, obtido de forma não > intencional, com a fundamentação filosófica da Topos Theory, em que toda > ideia de "constância" é vista como um caso limite de processos de variação > (William Lawvere). De modo análogo, em Flow, conjuntos são funções muito > especiais, funções que chamamos de "estáticas" (às vezes de "mortas"). > > A versão apresentada nesse preprint é uma versão simplificada de Flow, em > que forçamos a "extensionalidade fraca" de Flow a se comportar como a > extensionalidade conjuntista: duas funções com o mesmo "comportamento" são > iguais nessa versão simplificada. Essa escolha tem o propósito de facilitar > a demonstração de que os axiomas de ZFC, quando traduzidos em Flow, são > teoremas. Na versão não simplificada de Flow, contudo, pode não ser tão > fácil obter tal demonstração: duas funções com o mesmo comportamento não > são necessariamente iguais, seriam apenas "equivalentes". Ainda não > descobrimos, nessa versão não simplificada, leis de cancelamento (como > monomorfismo e epimorfismo) ou "separadores" (como o objeto terminal em > Set) que nos permitam separar morfismos, obter a igualdade de funções: elas > continuam sendo seres com individualidade, porém não totalmente > distinguíveis (até o momento). Acreditamos que Flow possa desempenhar, no > futuro, papel relevante na formulação de problemas sobre > "indistinguibilidade" que ocorrem em mecânica quântica. > > Um minicurso sobre a Teoria Flow será apresentado em um workshop sobre > mecânica quântica que ocorrerá em Florianópolis em dezembro. Até lá, > pretendemos ainda preencher as lacunas do preprint e coletar críticas, > sugestões e correções. Como a proposta é bastante ousada, pode ser que > estejamos completamente equivocados! :-) > > Por outro lado, a versão que está agora no papel é resultado de seis meses > de trabalho diário. Nesse percurso, nos deparamos diversas vezes com > pequenas inconsistências. Ficaremos imensamente agradecidos se os colegas > interessados puderem analisá-lo com seus alertas de inconsistência ligados! > > Ainda há muita coisa interessante para ser analisada e certamente diversos > fatos, teoremas, que não estamos enxergando. Uma das nossas dificuldades no > momento é que o único categorista da nossa equipe é amador (eu), o que tem > atrasado um pouco a obtenção de resultados que parecem estar diante do > nosso nariz, mas que não conseguimos formular satisfatoriamente. Temos a > esperança, contudo, de que categoristas profissionais se interessem pelo > trabalho e queiram contribuir com o desenvolvimento dessa teoria. > > A propósito, os diagraminhas que representam as funções finitas pequenas de > Flow são grafos reflexivos, o que sugere um problema de imersão (fora da > teoria, é claro) de Flow na categoria dos grafos reflexivos ou um problema > de imersão de Flow, vista como categoria (monoide sob a composição), na > categoria dos endomorfismos de conjuntos... Isso tudo está em aberto. Outro > fato curioso é que uma das funções mais importantes de Flow, a função > sucessor, tem um comportamento "algébrico" muito similar ao de um > funtor-hom, e parece nos dar de fato uma interpretação "quase-funtorial" de > um subuniverso de Flow em conjuntos (chamamos de "quase-funtorial" porque o > sucessor de uma composição não é igual à composição de sucessores, ela > contém a composição, mas apenas em casos particulares é igual). > > Bom, era isso. Esperamos que os colegas se interessem e que possam analisar > o material (e que não descubramos nenhum erro muito grave, hahaha...) > > Abraços! > > M. > Voltar ao início <#m_2500684615994902327_digest_top> > Você recebeu esse resumo porque está inscrito para receber atualizações > deste grupo. Você pode alterar suas configurações na página de associação > do grupo > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/forum/?utm_source=digest&utm_medium=email#!forum/logica-l/join> > . > Para cancelar sua inscrição neste grupo e deixar de receber e-mails do > mesmo, envie um e-mail para [email protected]. > -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CA%2Bob58OVxeJAtMR8NjxYNQMse2HHhhUDmCLUaVG9FVy7dqB2QQ%40mail.gmail.com.
